{"id":2961,"date":"2015-08-25T10:27:18","date_gmt":"2015-08-25T09:27:18","guid":{"rendered":"http:\/\/phdom.com\/?p=2961"},"modified":"2015-08-25T10:28:59","modified_gmt":"2015-08-25T09:28:59","slug":"triangle-al-kashi-et-heron","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/phdom.com\/en\/triangle-al-kashi-et-heron\/","title":{"rendered":"Triangle Al Kashi Heron"},"content":{"rendered":"

<\/p>\n\n\n\n\n\n
R<\/strong><\/span>appelons d’abord la formule la plus connue pour calculer l’aire d’un triangle :
\n<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
\"\"<\/td>\n\"\"<\/td>\n<\/tr>\n
Cette formule – la premi\u00e8re que l’on apprend – a le d\u00e9savantage de ne donner qu’une valeur approch\u00e9e de la surface. En effet, la plupart du temps, on se contente de mesurer la hauteur du triangle apr\u00e8s l’avoir trac\u00e9 avec toutes les impr\u00e9cisions que cela comporte<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

S<\/strong><\/span>i on connait un peu de trigonom\u00e9trie ainsi que la longueur de deux c\u00f4t\u00e9s du triangle et de l’angle adjacent \u00e0 ses deux c\u00f4t\u00e9s, on peut calculer la hauteur.<\/span><\/p>\n\n\n\n\n\n\n
En effet, on a, \u00e0 l’aide du triangle rectangle :<\/span><\/td>\n\"\"<\/td>\n<\/tr>\n
\"\"<\/td>\n<\/tr>\n
De ceci on d\u00e9duit que h = a \u00d7 sin C. Et on obtient alors une nouvelle formule pour calculer l’aire d’un triangle :<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
\"\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n\n\n\n
Si on note S l’aire du triangle, on obtient alors en permutant les notations :<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
\"\" (1)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n\n\n\n\n
<\/td>\n<\/tr>\n
S<\/strong><\/span>i maintenant on divise tout par le produit abc\/2, on obtient la relation :<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
\"\"<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Cette derni\u00e8re relation va nous permettre de calculer l’aire d’un triangle connaissant la longueur d’un c\u00f4t\u00e9 et les mesures de ses deux angles adjacents.<\/span><\/p>\n

En effet, on en d\u00e9duit que \"\" d’o\u00f9 \"\"
\nPuisque \"\", on en d\u00e9duit que \"\".
\nOr A + B + C = <\/span>p<\/span> donc sin A = sin (B + C), donc<\/span><\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

A<\/strong><\/span>vant d’en venir \u00e0 la formule de H\u00e9ron, on a besoin d’une autre formule : celle de Al Kaschi (math\u00e9maticien arabe vers 1430).<\/span><\/p>\n

Celle ci se d\u00e9montre \u00e0 l’aide du produit scalaire, j’en donne une d\u00e9monstration rapide ci dessous :<\/span><\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/td>\n\"\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

On peut remarquer que si le triangle est rectangle en A, l’angle A mesure 90\u00b0 et cos A vaut 0. La relation d’Al kaschi devient alors a\u00b2 = b\u00b2 + c\u00b2 : On retrouve le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore<\/a>. C’est pour cette raison que dans certains ouvrages cette relation porte le nom de formule de Pythagore g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e.<\/p>\n

V<\/strong><\/span>enons en maintenant \u00e0 la d\u00e9monstration de la formule de H\u00e9ron :<\/p>\n

De la relation d’Al Kaschi, on obtient \"\" et de la relation (1), on tire \"\".<\/p>\n

La relation cos\u00b2 A + sin\u00b2 A = 1 s’\u00e9crit alors \"\".<\/p>\n

On obtient alors : 16S\u00b2 = 4b\u00b2c\u00b2 – (b\u00b2 + c\u00b2 – a\u00b2)\u00b2
\n16S\u00b2 = (2bc + b\u00b2 + c\u00b2 – a\u00b2) \u00d7 (2bc – b\u00b2 – c\u00b2 + a\u00b2)
\n16S\u00b2 = [(b + c)\u00b2 – a\u00b2)] \u00d7 [a\u00b2 – (b – c)\u00b2]
\n16S\u00b2 = (b + c +a)(b + c – a)(a + b – c)(a – b + c)
\nPuisque les nombres a, b et c sont les longueurs d’un triangle, ils v\u00e9rifient les in\u00e9galit\u00e9s
\na < b + c, b < a + c, c < b + a et par suite le second membre de l’\u00e9galit\u00e9 est positif.
\nDe plus b + c – a = (b + c + a) – 2a = 2(p – a) en appelant p le demi-p\u00e9rim\u00e8tre du triangle.
\nOn obtient alors \"\"<\/p>\n

Ce qui donne la formule de H\u00e9ron : \"\".<\/p>\n

Le tableau ci-dessous r\u00e9sume les diff\u00e9rentes m\u00e9thodes pour calculer la surface d’un triangle :<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
On conna\u00eet …<\/td>\nOn utilise …<\/td>\n<\/tr>\n
La base et la hauteur<\/td>\n\"\"<\/td>\n<\/tr>\n
La longueur de deux c\u00f4t\u00e9s du triangle et la mesure de l’angle adjacent \u00e0 ses deux c\u00f4t\u00e9s<\/span><\/td>\n\"\"<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
La longueur d’un c\u00f4t\u00e9 et les mesures de ses deux angles adjacents.<\/span><\/td>\n\"\"<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
Les trois longueurs du triangle<\/span><\/td>\n\"\" avec p le demi-p\u00e9rim\u00e8tre (c’est-\u00e0-dire 2p = a + b +c)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Et si on ne conna\u00eet que les trois mesures des angles du triangle ? Comment calcule-t-on sa surface ? On r\u00e9fl\u00e9chit avant de poser la question \u00e0 son prof…<\/p>\n

Do you have any example of exercices about this formulas ?<\/span><\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Rappelons d’abord la formule la plus connue pour calculer l’aire d’un triangle : Cette formule – la premi\u00e8re que l’on apprend – a le d\u00e9savantage de ne donner qu’une valeur approch\u00e9e de la surface. En effet, la plupart du temps, on se contente de mesurer la hauteur du triangle apr\u00e8s l’avoir trac\u00e9 avec toutes les […]<\/p>\n","protected":false},"author":38,"featured_media":2325,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"spay_email":""},"categories":[20],"tags":[],"yoast_head":"\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\t\n\t\n\n\n\n\n\t\n