Triangle Al Kashi et Héron

Rappelons d’abord la formule la plus connue pour calculer l’aire d’un triangle :
Cette formule – la première que l’on apprend – a le désavantage de ne donner qu’une valeur approchée de la surface. En effet, la plupart du temps, on se contente de mesurer la hauteur du triangle après l’avoir tracé avec toutes les imprécisions que cela comporte

Si on connait un peu de trigonométrie ainsi que la longueur de deux côtés du triangle et de l’angle adjacent à ses deux côtés, on peut calculer la hauteur.

En effet, on a, à l’aide du triangle rectangle :
De ceci on déduit que h = a × sin C. Et on obtient alors une nouvelle formule pour calculer l’aire d’un triangle :

Si on note S l’aire du triangle, on obtient alors en permutant les notations :

(1)

Si maintenant on divise tout par le produit abc/2, on obtient la relation :

Cette dernière relation va nous permettre de calculer l’aire d’un triangle connaissant la longueur d’un côté et les mesures de ses deux angles adjacents.

En effet, on en déduit que d’où
Puisque , on en déduit que .
Or A + B + C = p donc sin A = sin (B + C), donc

Avant d’en venir à la formule de Héron, on a besoin d’une autre formule : celle de Al Kaschi (mathématicien arabe vers 1430).

Celle ci se démontre à l’aide du produit scalaire, j’en donne une démonstration rapide ci dessous :

On peut remarquer que si le triangle est rectangle en A, l’angle A mesure 90° et cos A vaut 0. La relation d’Al kaschi devient alors a² = b² + c² : On retrouve le théorème de Pythagore. C’est pour cette raison que dans certains ouvrages cette relation porte le nom de formule de Pythagore généralisée.

Venons en maintenant à la démonstration de la formule de Héron :

De la relation d’Al Kaschi, on obtient et de la relation (1), on tire .

La relation cos² A + sin² A = 1 s’écrit alors .

On obtient alors : 16S² = 4b²c² – (b² + c² – a²)²
16S² = (2bc + b² + c² – a²) × (2bc – b² – c² + a²)
16S² = [(b + c)² – a²)] × [a² – (b – c)²]
16S² = (b + c +a)(b + c – a)(a + b – c)(a – b + c)
Puisque les nombres a, b et c sont les longueurs d’un triangle, ils vérifient les inégalités
a < b + c, b < a + c, c < b + a et par suite le second membre de l’égalité est positif.
De plus b + c – a = (b + c + a) – 2a = 2(p – a) en appelant p le demi-périmètre du triangle.
On obtient alors

Ce qui donne la formule de Héron : .

Le tableau ci-dessous résume les différentes méthodes pour calculer la surface d’un triangle :

On connaît …	On utilise …
La base et la hauteur
La longueur de deux côtés du triangle et la mesure de l’angle adjacent à ses deux côtés
La longueur d’un côté et les mesures de ses deux angles adjacents.
Les trois longueurs du triangle	avec p le demi-périmètre (c’est-à-dire 2p = a + b +c)

Et si on ne connaît que les trois mesures des angles du triangle ? Comment calcule-t-on sa surface ? On réfléchit avant de poser la question à son prof…

Avez vous des exercices permettant d’utiliser une de ces formules ?